なぜ降雨イベント間隔とイベント時降雨量は指数分布に従うのか？

04/20/2004　　　　　熊谷　朝臣

 

私の論文の中で（Kumagai et al, 2004）、擬似降雨時系列を作ってこれを入力とした（超簡単な）水循環シミュレーションを走らせました。この擬似降雨は、降雨イベントの時間間隔とイベント時の降雨量が指数分布で表現されるとして（例えば、Laio et al., 2001；彼らは”marked Poisson process”と呼んでいる）、これらの確率密度関数に従う乱数発生により作られました。

指数分布といえば、確率密度関数が、

　　　　　（１）

という式で表現されます。このとき1／lは平均値であり標準偏差でもあります（自分で試してみて下さい）。つまり、指数分布はたった一つのパラメータlによって表現されるのです。そして、降雨イベントの時間間隔とイベント時降雨量という現象は、この単純な指数分布に驚くほど良く当てはまります。なんでそんなことが起きるのでしょうか？

実は、これらの現象が指数分布で表現できることは、きれいに数学的に証明できます。以下では、（このことについて、たまに質問を受けて、それをいちいち答えるのが面倒臭くなったので）それを実際にやって見せます。なお、ネタ本としてBerg (1983) を挙げときます。

まず、降雨イベントの時間間隔について。まず、時間（t）軸をとります。時刻0からtまでの時間をn等分しましょう。つまり時刻0からtまでの時間がt／nという時間間隔で区分されることになります（図１）。

 

 

 

 

図１．時間軸

 

単位時間当り事象が起きる確率をlとします。すると、図１の時間軸の最初の区間（0〜t／n）で事象が起こる確率はlt／nとなります。この区間で事象が起きない確率が1−lt／nになるのは当然ですね。なお、nは十分に大きく、同じ区間内で事象が２度以上起こることは無いと仮定されます。

するとn個の区間で事象が一度も起きない確率は(1−lt／n)ⁿとなります。そして、区間（t〜t + dt）で事象が起きる確率はldtになります。よって、区間（t〜t + dt）で初めて事象が起こる確率は、

　　　　　（２）

もう、おわかりですね。(1−lt／n)ⁿのn→∞はexp(−lt)になりますから、ずばり、（１）式が得られることになります。

確認しましょう。tは事象が起きるまでの時間を表現しています。２つの事象の間の時間、つまり、イベントの時間間隔なのです。そして、その平均値（平均時間間隔）は（１）式の説明で述べたように、1／lで示されます。

 

さて、次はイベント時の降雨量についてです。

ここでは、まずhという雨量を与えます。このhがある降雨イベントに割り当てられることを考えてみましょう。図１と同じく雨量（h）軸なんてのを考えてみます。また、同じように小雨量区間（0, h／n, 2h／n, 3h／n・・・nh／n）を考えます。そこで、ある区間内で区切りができる確率を1／hとします。なんで、分数の形になってるかというと、この方が後で見栄えが良いからで、たいした意味はありません。後ほどわかります。

さて、ガンガン行きましょう。hなる雨量がある降雨イベントに割り当てられるためには区間0〜hで区切りが生じないようにしなければなりません。この確率は(1−h／nh)ⁿとなります。そして、区間（h〜h + dh）で区切りが生じる確率はdh／hとなります。よって、区間（h〜h + dh）で初めて区切りが生じる確率（ある降雨イベントに雨量hが割り当てられる確率）は、

　　　　　（３）

となります。これも指数関数で表現できて、

　　　　　（４）

となります。この指数分布の平均値はhです（これが、”1／h”の理由です）。つまり、hは降雨イベント時の平均降雨量ということになります。

 

 

引用・参考文献

Berg (1983) Random Walks in Biology. Princeton University Press.

Kumagai et al. (2004) Water Resources Research 40, 10.1029/2003WR002226.

Laio et al. (2001) Advances in Water Resources 24, 707.

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