ラグランジュの乗数法

10/31/2005　　　　　　　　　　.

11/25/2010改訂　　　熊谷　朝臣

 

先日、久しぶりに測量をやりました。そして、その夜、夕ご飯時、女房と測量結果の誤差配分の話になりました。女房は林学出身で、測量士補（当時、林学出身なら誰でももらえた）の資格まで持っています。

女房：測量の間違った分なんてのは、結果がそれっぽく見えるよう、適当にばらまきゃいいのよ。

私　：ちょっと待て。あんた、測量の授業で誤差配分の理論について習わんかったんか？

女房：そんなのやるわけない。測量っちゅうのは、間違えるのが当たり前。いかに誤差をごまかすか、それが重要。私は、測量実習で、みんなにそれを力説して、みんな、それに感動しとった。それが、測量っちゅうもんよ（意味不明）。

実は、この測量結果の誤差配分の理論に「ラグランジュ（Lagrange）の乗数法」が使われます。測量結果には角等式や辺等式といった幾何学的条件があります。この条件のもとで、測定値と最確値の間の残差の関数が最小になるように、最適な残差を求め、最確値（修正された測定値）を決めるのです。「ラグランジュの乗数法」とは、ある関数を満足しなければならないような条件で、別のある関数の極値を与える点を求める方法です。測量に限らず、色々な局面でこの方法が有用なのは容易に想像できると思います。例えば、資源が限られている場合の、その資源の最適配分なんてのは、典型的な例でしょう。

そこで本稿では、この色んなところで役立ちそうな「ラグランジュの乗数法」の解説をします。本稿は、女房と彼女の同級生達に捧げたいと思います。

 

関数f、g₁、g₂、・・・g_nを考えます。「f(x₁, x₂, x₃,・・・x_i)（1 ≤ i ≤ m）の極値を求めるときにg_j = 0（1 ≤ j ≤ n）を満足しなければならない。そのときの点aを求める。」という問題を考えます。

まず、次のような関数を作ります。

　　　　　　　（１）

ここで、l_jは適当な定数で、あとで決めるものです。

明らかに、g_j = 0（1 ≤ j ≤ n）を満足する点aに対して、（１）式はF = fとなることに注意して下さい。これを頭に入れながら、まず、Fが極値となる条件を考えます。つまり、

　　　（２）

ここで、点aは｛x_i｝（1 ≤ i ≤ m）として表現されていることをもう一度確認して下さい。（２）式を解くということは、Fの極値を求めることですが、これはl_jに依存します。そこで、（２）式で求められたFが極値となる点がg_j = 0を満足するようにl _jを選ぶことにします。その点ではg_j = 0なのですから、F = fであり、“その点”とはfが極値となる点aに他ならない、ということになります。

まとめましょう。「fの極値を求めるときにg_j = 0（1 ≤ j ≤ n）を満足しなければならない。そのときの点aを求める。」ために、解くべき方程式は、

　　　（３）

　　　　　　　　　（４）

（1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n）

という連立方程式です。未知数はx₁、x₂、・・・x_m、l₁、l₂、・・・l_nの合計m + n個になりますが、（３）、（４）式からなる方程式の数もm + n個になることを確認して下さい。

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