ヤコビアンを使った積分変数変換
5/1/2007 熊谷 朝臣
表題の通り、ヤコビアン（Jacobian）って積分、特に、二重積分の変数変換に利用するものとしか考えてなかったのですが、あるデータyの密度関数g(y)とデータyの変換によって得られたz（= h(y)）の密度関数f(z)の関係って、ヤコビアンで繋げられるんですよね。私の最近の論文では、判で押したように、確率分布で表現された入力をモデルを通して計算して、それで得られた結果を確率分布で表現する、なんてことをやってます（Kumagai et al., 2004a, 2004b,
2005a, 2005b, 2007）。よくよく考えると、これらの研究ってヤコビアンを使えば、もっとエレガントにできるんじゃないかな、と思ったのです。
そこで本稿では、（新たな研究で使う前に、周りの人に“常識”として知っといてもらおうという魂胆から）まず、単純に積分の変数変換からヤコブ行列とヤコビアンの紹介を行います。次の稿でデータの変換前と後の密度関数の関係をヤコビアンを使って表現することを紹介します。
なお、注意ですが、以下の導出の仕方はかなり数学的厳密性に欠けます。あと、証明も直感に頼っていて、全く厳密ではありません。他のワンポイント・レッスンにも言えることですが、数学を専門にやってる人は読まない方が良いです。きっと、頭痛が起きます。が、私のような数学を単なる道具として見ている人間には、きっと、分かり易いと思います。
さてさて、まず、高校数学から。f(x)の積分でxをuに変換するとき、
（１）
となるのは知ってますよね。じゃぁ、これをxy平面上の領域Rからuv平面上のある領域R’への積分変数変換に拡張します。
（２）
まあ、こんな感じになるでしょう。（２）式は、xy平面上の領域Rにおけるf(x, y)の面積（左辺）は、fをx = x(u, v)、y = y(u, v)を使ってuv平面上の領域R’へ移したときの面積（右辺）に等しいと言ってます。（１）式では、dx = (dx/du)duという変換をやっています。ここでの“dx/du”に相当する係数としてdxdy = XdudvなるXを決める必要があるでしょう。
ここで（いきなり）、xy平面上でのx = x(u, v)、y = y(u, v)それぞれの全微分を考えます。それを行列で表現すると、
（３）
となります。（３）式を眺めていると、ここで出てくる２×２行列がXを求める鍵なのかな、という気がしてきませんか？実は、この行列こそが、ヤコブ行列Jと呼ばれているのです。
よーく（３）式を眺めてると、uv平面上の微小ベクトル(du,
dv)は、このJによってxy平面上の微小ベクトル(dx,
dy)に移されていることが分ります。
dxdy = Xdudvに話を戻します。uv平面上で単位ベクトル(1,
0)、(0, 1)を考えます。もちろん面積は１です。これらの単位ベクトルは（３）式によりxy平面上のベクトル(¶x/¶u, ¶y/¶u)、(¶x/¶v, ¶y/¶v)に移されます。この２つのベクトルによる面積は、½(¶x/¶u)(¶y/¶v)-(¶y/¶u)(¶x/¶v)½になります。これは、Jの行列式detJの絶対値に等しいです。
よって、uv平面上の微小面積dudvの½detJ½倍がxy平面上の微小面積dxdyになりそうだと想像できます。（“想像”で止めておいた方が無難です。本気で証明するのは大変で、“危険”です。）
もうお分かりですね、dxdy = ½detJ½dudvとなります。そして、このdetJこそがヤコビアンと呼ばれるものです。整理のために、（２）式を書きなおしておきましょう。
（４）
ですね。ここらで止めておきますが、n次元への拡張も、想像するのはそんなに難しくないと思います。
引用・参考文献
Kumagai et al. (2004a) Advances in
Water Resources 27, 1135.
Kumagai et al. (2004b) Water Resources
Research 40, 10.1029/2003WR002226.
Kumagai et al. (2005a) Agricultural
and Forest Meteorology 135, 110.
Kumagai et al. (2005b) Forest Ecology
and Management 206, 191.
Kumagai et al. (2007) Tree Physiology
27, 161.
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